用导数画函数y=6x^3+6x^2的图像示意图的步骤

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本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，介绍函数用导数工具画函数y=6x^3+6x^2的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

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根据函数特征，函数自变量x可以取全体实数，即定义域为：(-∞，+∞）。

[图]2/9

定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

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一阶导数的应用，判断函数的单调性：计算函数的一阶导数，求出函数驻点，判断函数一阶导数的正负，即可解析函数的单调性，进而得到函数的单调区间。

[图]4/9

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

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二阶导数可判断函数的凸凹性，主要过程为：计算函数的二阶导数，即可知函数的拐点，再根据二阶导数的符号，判断函数的凸凹性，进而解析函数的凸凹区间。

[图]6/9

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

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判断函数在无穷远处和无穷近处的极限。

[图]8/9

根据以上函数的主要特征，函数上部分点图表列举。

[图]9/9

综合以上函数的定义域、值域、单调性、凸凹性和极限等性质，本例应用导数工具，计算单调和凸凹区间，函数的示意图如下：

[图]

编辑于2025-01-08，内容仅供参考并受版权保护