已知2a+25b=9,求ab的最大值方法

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本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

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思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/25-2/25*a)

=-2/25*a^2+9/25*a

=-2/25(a-9/4)^2+81/200，

则当a=9/4时，ab有最大值为81/200。

[图]2/7

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+25b=9,

2a+25p/a=9,

2a^2-9a+25p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-200p≥0,即：

p≤81/200,

此时得ab=p的最大值=81/200。

[图]3/7

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+25b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，25b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=9/25(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*9/25(sint)^2,

=81/200*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/200。

[图]4/7

思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,25b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/25)(9/2-t)

此时有：

ab=1/50*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/50*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/200,

则ab的最大值为81/200。

[图]5/7

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+25b≥2√50*ab,

∴(2a+25b)^2≥200*ab,

81≥200*ab,

即：ab≤81/200,

则ab的最大值为81/200。

[图]6/7

思路六：数形几何法

如图，设直线2a+25b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

2a0+25b0=9,b0=a0tanθ,

2a0+25a0tanθ=9，得

a0=9/(2+25tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(2+25tanθ)^2,

=81/[(4/|tanθ|)+100+625|tanθ|]

≤81/(100+100)=81/200。

则ab的最大值=81/200.

[图]7/7

思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+25b-9),

则偏导数f'a=b-2λ,f'b=a-25λ,

f'λ=2a+25b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=2λ,a=25λ。进一步代入得：

50λ+50λ=9,即λ=9/100.

则有a=9/4,b=9/50.

ab的最大值=9/4*9/50=81/200。

[图]

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