计算ab在条件a+40b=9时最大值的主要过程和步骤

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本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在已知条件下的最大值。

方法/步骤

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介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+40b=9条件下的最大值。

[图]2/8

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(9/40-1/40*a)

=-1/40*a^2+9/40*a

=-1/40(a-9/2)^2+81/160，

则当a=9/2时，ab有最大值为81/160。

[图]3/8

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+40b=9,

a+40p/a=9,

a^2-9a+40p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-160p≥0,即：

p≤81/160,

此时得ab=p的最大值=81/160。

[图]4/8

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+40b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=9(cost)^2，40b=9(sint)^2，则：

a=9(cost)^2,b=9/40(sint)^2,代入得：

ab=9(cost)^2*9/40(sint)^2,

=81/160*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=81/160。

[图]5/8

设a=9/2+t,40b=9/2-t，则：

a=(9/2+t),b=(1/40)(9/2-t)

此时有：

ab=1/40*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/40*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤81/160,

则ab的最大值为81/160。

[图]6/8

当a，b均为正数时，则：

∵a+40b≥2√40*ab,

∴(a+40b)^2≥160*ab,

81≥160*ab,

即：ab≤81/160,

则ab的最大值为81/160。

[图]7/8

如图，设直线a+40b=9上的任意一点P(a0,b0),

op与x轴的夹角为θ，则：

a0+40b0=9,b0=a0tanθ,

a0+40a0tanθ=9，得

a0=9/(1+40tanθ),

|a0*b0|=81*|tanθ|/(1+40tanθ)^2,

=81/[(1/|tanθ|)+80+1600|tanθ|]

≤81/(80+80)=81/160。

则ab的最大值=81/160.

[图]8/8

设函数f(a,b)=ab-λ(a+40b-9),

则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-40λ,

f'λ=a+40b-9。

令f'a=f'b=f'λ=0，则：

b=λ,a=40λ。进一步代入得：

40λ+40λ=9,即λ=9/80.

则有a=9/2,b=9/80.

ab的最大值=9/2*9/80=81/160。

[图]

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