各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）

来自京东商城https://www.jd.com/的优秀用户864961787，于2015-01-02在生活百科知识平台总结分享了一篇关于“各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）飞剑问道”的经验，非常感谢864961787的辛苦付出，他总结的解决技巧方法及常用办法如下：

不管是在高中还是大学，未定式求极限总是常考内容。特别是考研基本都是必考。本篇经验是各类未定式的求极限的方法总结。部分内容为大学高数内容，但是大部分内容同样适合高中。

方法/步骤

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未定式处理遵循先定型后定法原则。

现在我们在这里先将未定式分为4大类型（定型）：

1.基本型 即0/0型（零比零型），∞/∞型（无穷比无穷型）。

2.无穷乘零型即∞x0型。

3.幂指函数型。

4.无穷减无穷型即∞-∞型。

[图]2/6

基本型：

直接用洛必达法则，过程中注意每一步都要判断是否还保持基本型。

同时过程中要“四化”（“四化”详见注意事项）。

洛必达法则，即为对分子分母分别求导数。

[图]3/6

无穷乘零型（∞x0）：

先“下放”再用洛必达

就是将∞x0，中的一项变换到分母位置。

变换后为0/(1/∞)或者外∞/(1/0)，这样实际上就变成了

0/0型和∞/∞，这就成了基本型了。之后的步奏就用基

本型的方法做。

[图]4/6

幂指函数型（1的∞次方，∞的0次方，0的0次方）：

先指数对数化，之后其幂必定变为了∞x0型，然后幂的极限求法就依照类型2（即无穷乘零型）操作。

此处说明指数对数化，上面三种幂指函数指数对数化后为,e的（∞xln 1）次方，e的（0 x ln ∞）次方，e的（0 x ln 0）次方。他们都指数都实际上都分别变成了∞ x 0，0 x ∞，0 x -∞。这就可以按照类型2处理了。

[图]5/6

无穷减无穷型（∞-∞）：

此类型还细分外三种情况。

1.分式差，方法就是通分，之后它局变为了基本型，就参照基本型处理，直接洛

必达。

2.根式差，看成是分母为1的分式，然后将分子有理化，之后它也变成了基本型

3.既非分式也非根式,此类型较为复杂，一般可令x=1/t,这样就出现了分式。就可

按前两种情况处理。

[图]6/6

终极方法（通法）：

将分式中的上下部分度化成迈克劳林式子。

此方法一般问题都能解决但是较为麻烦，在没有其他思路的情况下考虑此法。

[图][图]

注意事项

“四化”：1,.无穷小因子等价化（此为大学内容，注意等价化条件只能是在整体的分子或分母）

2.幂指函数指数对数化。

3.无理式有理化。

4.非“0”极限因子淡化，就是把它算出来搁在一边暂不理它

每用一次洛必达后都要检查式子的类型，有些时候洛必达一次后式子已经不再是基本型了，不能连续用洛必达。

蛮干不能蛮断：不要一看洛必达后的式子极限不存在就认为极限不存在，因为你可能用错了。

考研

编辑于2015-01-02，内容仅供参考并受版权保护